2018年南京信息工程大学硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲

南京信息工程大学硕士研究生入学考试

《数学分析》考试大纲

科目代码：702

科目名称：数学分析

考试内容:

一、实数集与函数

1 实数集及其性质   2 确界定义与确界原理   3 函数概念   4有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）

二、数列极限

1 数列极限概念   2 收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算）   3 数列极限存在的条件：包括单调有界定理与柯西（Cauchy）准则

三、函数极限

1 函数极限概念   2 函数极限的性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算）   3 函数极限存在的条件：包括归结原则（Heine 定理），单调有界定理与柯西准则   4 两个重要极限   5 无穷小量，无穷大量, 非正常极限，阶的比较，曲线的渐近线

四、函数的连续性

1 连续性概念，间断点及其分类   2 连续函数的性质（有界性、保号性、连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性；闭区间上连续函数的有界性、取得大值小值性、介值性、一致连续性）  3 初等函数的连续性

五、导数与微分

1 导数的概念   2 求导法则   3 微分概念   4 高阶导数与高阶微分   5参量方程所确定的函数的导数

六、微分中值定理及其应用

1 中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）   2 不定式极限    3 泰勒公式（及其皮亚诺余项与拉格朗日余项、一些常用初等函数的泰勒展开式、应用于近似计算）   4 函数的单调性、极值、大值与小值   5 函数的凸性与拐点    6 函数图象的讨论

七、实数完备性

1 实数集完备性的基本定理的应用   2 闭区间上连续函数性质的证明

第八章 不定积分

1原函数与不定积分概念，基本积分公式   2 换元积分法与分部积分法   3 有理函数和可化为有理函数的积分

九、定积分

1定积分的概念及其几何意义   2 可积条件的应用（包括必要条件，可积准则），三类可积函数   3 定积分的性质（线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理）   4 微积分学基本定理，定积分的分部积分法与换元法

十、反常积分

1无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛与条件收敛    2无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法及p-函数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法    3无界函数反常积分概念，无界函数反常积分比较判别法及p-函数判别法

十一、定积分的应用

1 平面图形的面积   2 由截面面积求体积、旋转体的体积   3 曲线的弧长与曲率   4 旋转曲面的面积

十二、数项级数

1 级数收敛的概念，柯西收敛准则，收敛级数的性质    2 正项级数收敛判别法（比较判别法、p-级数判别法、比式与根式判别法、积分判别法）    3 一般项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数的莱布尼兹判别法，阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法，绝对收敛级数的性质

十三、函数列与函数项级数

1 函数列与函数项级数的一致收敛性，柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法   2 函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性、可微性

十四、幂级数

1 幂函数的收敛性，阿贝尔定理，收敛半径与收敛域，内闭一致收敛性，和函数的分析性质   2 函数的幂级数展开

十五、傅里叶级数

1 傅里叶级数的概念，三角函数系的正交性   2 以2L为周期的函数的展开式，奇式与偶式展开   3 收敛定理的证明

十六、多元函数的极限与连续

1 平面点集与多元函数    2 二元函数的极限，重极限与累次极限   3 二元函数的连续性，有界闭域（集）上连续函数的性质

十七、多元函数的微分学

1偏导数与全微分概念，可微性   2 复合函数微分法，高阶导数，高阶微分，混合偏导数与其顺序无关性   3 方向导数与梯度  4 泰勒公式与极值问题

十八、隐函数定理及其应用

1隐函数的概念，隐函数定理   2隐函数组定理，隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式及其性质   3 几何应用（空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线）   4 条件极值与拉格朗日乘数法

十九、含参量积分

1 含参量正常积分，连续性、可积性与可微性    2 含参量反常积分的收敛与一致收敛，柯西准则，维尔特拉斯（Weierstrass）判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，含参量无穷积分的连续性，可积性与可微性        3 欧拉积分

二十、曲线积分

1第一型曲线积分的概念，性质和计算公式     2第二型曲线积分的概念，性质和计算公式，两类曲线积分之间的关系

二十一、重积分

1 二重积分概念与性质   2 二重积分的计算（化为累次积分），二重积分的换元法（极坐标与一般变换）  3. 格林（Green）公式，曲线积分与路线的无关性        3 三重积分的概念与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换）  4 重积分的应用（体积、曲面面积等）

二十二、曲面积分

1第一型曲面积分的的概念与计算    2第二型曲面积分的概念与计算，两类曲面积分之间的关系    3高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式