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2017年湖州数学中考题12题

已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点,请你在图中任意画一条抛物线,问所画的抛物线多能经过81个格点中的多少个?( )

A.6 B.7 C.8 D.9

技校_网友 更新时间:2022-03-03 11:09:50 解决时间:2018-06-09 20:48

满意答案

如果以左下角的点为原点使抛物线通过9个点,抛物线可能会成为向右上升的直线;

如果以中间下面的那个点为原点,抛物线可能会变成对称的两条直线。

所以多八个

以向右第五列下面的点为原点,让抛物线口朝上。

设抛物线为y=ax 2 +bx+c

则当x=1时y=c

当x=2时y=a+b+c

想尽可能多的通过格点,c一定是整数,让抛物线尽量靠下,c可以取小值0,同时令a+b+c为整数,那么a+b一定是整数。

当x=2时, y=4a+2b+c.

变形得2a+2a+2b+c

提出a+b得2a+2(a+b)+c

因为c和a+b一定是整数,

所以想令2a+2(a+b)+c是整数,2a一定也是整数。

又因为想尽可能多的通过格点,2a要取小值1(不能取0),所以a是1/2,就是0.5

再让a+b小,b就取-0.5。

抛物线为y=0.5x 2 -0.5x,这个抛物线是通过格点多的情况之一,对称轴x=0.5(不是y轴)。顶点(1/2,-1/8)。通过(0,0)(1,0)(-1,1)(2,1)(-2,3)(3,3)(-3,6)(4,6)后这个点就在边缘上了,(-4,10)和(5,10)都取不上了。所以多八个。

把抛物线往左移一个单位,或者扣过来口朝下,道理一样,多八个。

  技校网 2018-06-09 20:48

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