2018年华中农业大学全日制专业硕士学位研究生招生《数学分析》考试大纲

华中农业大学硕士研究生入学考试

数学分析(628 )大纲

试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟．

答题方式

答题方式为闭卷、笔试．

试卷题型结构

单选题与填空题 约50分 

解答题（包括证明题） 约100分

第一部分：实数集与函数，极限，连续

考试内容：

实数集的性质，实数集的上(下)确界。

实数完备性的基本定理。

函数的定义，函数的各种表示方法，基本初等函数的定义、性质及图像，复合函数、反函数、有界函数、周期函数、奇函数和偶函数、单调函数、初等函数的定义。 

数列和函数极限的定义，数列和函数极限的性质。

数列的单调有界定理，数列和函数收敛的柯西收敛准则，归结原则。

两个重要极限及其应用。

无穷小量与无穷大量的概念及其阶的比较。

函数连续的概念，函数的间断点及其分类，复合函数与反函数的连续性。

闭区间上连续函数的性质。

函数的一致连续性的概念及相关结论。

考试要求：

掌握实数集的有序性与稠密性，掌握实数集的上(下)确界的定义，会确定一些常见集合的上(下)确界。

掌握实数完备性六个基本定理：确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和柯西收敛准则。

掌握函数的定义，函数的各种表示方法；掌握基本初等函数的定义、性质及图像，掌握复合函数、反函数、有界函数、周期函数、奇函数和偶函数、单调函数、初等函数的定义。 

掌握数列极限的定义和函数极限的定义，掌握数列和函数极限的唯一性、有界性、保号性、迫敛性、不等式性质以及四则运算性质，并会利用这些性质证明相关结论，求某些数列和函数的极限。

掌握数列的单调有界定理，掌握数列和函数收敛的柯西收敛准则，掌握归结原则，并利用这些定理证明相关结论。

掌握两个重要极限与，并应用这两个重要极限求其它相关数列或函数的极限。

掌握无穷小量的概念，掌握无穷小量阶的比较，会应用无穷小量阶的比较证明相关结论，求相关极限；掌握大量的概念，掌握无穷大量与无穷小量之间的关系；会确定曲线的渐近线。

掌握函数(左、右)连续的概念，识别不同类型的间断点；掌握复合函数和反函数的连续性。

掌握和应用闭区间上连续函数的大、小值定理，介值定理。

掌握函数在一个区间上一致连续的概念，掌握并会应用一致连续定理。

第二部分：一元函数微分学

考试内容：

1. 导数的定义及其几何意义。

2. 导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，由参数方程给出的函数的导数 及反函数的导数。

3. 高阶导数。

4. 微分的定义，几何意义及其应用，连续、可导与可微的关系。

5. 罗尔、拉格朗日和柯西中值定理，泰勒公式。

6. 函数的单调性，不定式的极限，函数的极值与值，函数的凸性与拐点。

考试要求：

1. 掌握函数在一点可导的定义，掌握导数的几何意义。

2. 掌握导数的四则运算法则，掌握复合函数的求导法则，掌握由参数方程给出的函数的导数，掌握反函数的导数，会应用这些法则求函数的导数。

3. 掌握函数和由参数方程确定的函数的导数的高阶导数。

4. 掌握微分的定义和几何意义，掌握连续、可导和可微的关系，会应用微分的定义解决相关问题。

5. 掌握罗尔、拉格朗日、柯西中值定理与泰勒公式的条件和结论。

6. 会应用中值定理和泰勒公式来确定函数的单调性，求不定式的极限，确定函数的极值与值，求函数的凸性和拐点，讨论函数的图像。

第三部分：一元函数积分学

考试内容：

1. 不定积分的概念与运算法则，基本积分公式。

2. 不定积分的换元积分法，分部积分法，有理函数与可化为有理函数的不定积分；

3. 定积分的概念，可积性条件，定积分的性质。

4. 牛顿-莱布尼兹公式，微积分学基本定理。

5. 定积分的计算。

6. 应用定积分求平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积；应用定积分解决一些物理问题。

7. 无穷积分及其收敛的概念，无穷积分的计算，无穷积分收敛的判别法则。

8. 瑕积分及其收敛的概念，瑕积分的计算，瑕积分收敛的判别法则。

考试要求：

1. 掌握不定积分与原函数的概念及关系，掌握不定积分的线性运算法则，熟练应用基本积分公式。

2. 掌握不定积分的换元积分法，分部积分法，有理函数和可化为有理函数的不定积分，应用这些方法求不定积分。

3. 掌握定积分的概念，理解并掌握可积性条件，掌握定积分的性质；会利用这些概念和性质解决相关问题。

4. 掌握并应用牛顿-莱布尼兹公式求定积分；掌握变限积分；掌握积分第二中值定理。

5. 利用换元积分法、分部积分法求定积分。

6. 应用定积分的思想求平面图形的面积、求某些立体的体积、求平面曲线的弧长、求旋转曲面的面积；并利用定积分的思想解决压力、引力、功等物理问题。

7. 掌握无穷积分的概念，掌握无穷积分收敛的定义并用定义求无穷积分的值；掌握无穷积分收敛的比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。

8. 掌握瑕积分的概念，掌握瑕积分收敛的定义并用定义求瑕积分的值；掌握瑕积分收敛的比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。

 第四部分：级数

考试内容：

1. 数项级数收敛的定义，应用定义求某些数项级数的和。

2. 正项级数收敛的判别法。

3. 交错级数收敛的判别法，绝对收敛和条件收敛级数的概念，一般项级数的阿

贝尔和狄利克雷判别法。

4. 函数列和函数项级数的收敛和一致收敛的概念，函数列和函数项级数一致收

敛的判别法。

5. 一致收敛函数列和函数项级数的连续性、可微性和可积性。

6. 幂级数收敛域的求法，利用幂级数的连续、可微和可积性求幂级数的和。

7. 函数的幂级数展开的条件，初等函数幂级数展开的方法。

8. 三角函数系，周期函数的傅里叶系数，傅里叶级数的收敛定理，将函数展为

傅里叶级数。

9. 将函数展开为正弦级数与余弦级数。

考试要求：

1. 掌握数项级数收敛的概念，会利用概念求一些级数的和，掌握一些基本级

   数的敛散性。

2. 掌握并会应用正项级数收敛的充要条件，掌握正项级数的比较判别法、比式

判别法、根式判别法和积分判别法。

3. 掌握并会应用交错级数判别法，掌握绝对收敛和条件收敛的概念，掌握一般

项级数收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。

4. 掌握函数列和函数项级数在一点收敛的定义，会确定它们的收敛域；掌握函

数列和函数项级数在一个集合上一致收敛的定义；掌握函数列和函数项级数一致收敛的判别法，并会判断其在一个集合上是否一致收敛。

5. 掌握一致收敛函数列和函数项级数的连续性、可微性和可积性。

6. 掌握幂级数的收敛半径的求法，确定幂级数的收敛域；掌握幂级数的和函数

  的连续性、可微性和可积性；会求幂级数的和。

7. 掌握函数的幂级数展开的条件；会求一些初等函数的幂级数展开式。

8. 掌握三角函数系及其正交性；会求周期函数的傅里叶系数；掌握傅里叶级数 

的收敛定理；会将一个函数展开成傅里叶级数。

9. 掌握奇函数和偶函数的傅里叶级数；会将函数展开成正弦和余弦级数。

第五部分：多元函数的极限、连续和微分学

考试内容：

1. 平面点集和多元函数的概念。

2. 二重极限和二次极限的概念及其关系。

3. 二元函数连续性的概念，有界闭区域上连续函数的性质。

4. 多元函数偏导数与全微分的概念，多元函数可微的必要和充分条件，可微性的几何意义及应用。

5. 复合函数偏导数的计算，方向导数与梯度。

6. 高阶偏导数，二元函数的中值定义与泰勒公式。

7. 多元函数极值的充分和必要条件，多元函数的极值。

8. 隐函数和隐函数组的概念，隐函数定理，隐函数组定理，隐函数的求导。

9. 空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与发线。

10. 条件极值的求法。

考试要求：

1. 掌握平面点集的表示和一些常用的平面点集；掌握点与集合之间的关系：内点、外点、界点，聚点和孤立点；掌握闭域、开域和区域的概念以及有界集的概念；掌握多元函数的概念。

2. 掌握二元函数极限的概念，掌握二重极限与二次极限之间的关系，会判断某些二元函数的极限是否存在，会计算某些二元函数的极限。

3. 掌握二元函数连续性的概念，掌握复合函数的连续性，掌握有界闭区域上连续函数的性质。

4. 掌握多元函数可微的概念，掌握多元函数偏导数的概念，掌握多元函数可微的必要条件和充分条件，掌握多元函数全微分的几何意义及其应用。

5. 掌握复合函数求偏导的法则，掌握方向导数和梯度的概念。

6. 掌握高阶偏导数的定义及计算，掌握二元函数的拉格朗日中值定理，掌握

二元函数的泰勒公式。

7. 掌握多元函数极值的充分条件和必要条件，会求多元函数的极值。

8. 掌握隐函数和隐函数组的概念，掌握隐函数定理和隐函数组定理，会求隐函数的导数。

9. 掌握空间曲线的切线和法平面的求法，会求曲面的切平面与法线。

会求条件极值。

第六部分：含参变量积分

考试内容：

1. 含参变量正常积分的概念，含参变量正常积分的性质。

2. 含参变量正常积分的计算。

3. 含参变量反常积分的概念，含参变量反常积分一致收敛的概念及其判别法；

               含参变量反常积分的性质。

4. 含参变量反常积分的计算。

考试要求：

1. 掌握含参变量正常积分的概念，掌握含参变量正常积分的连续性、可微性和

 可积性。

2. 会利用含参变量正常积分的性质计算其值。

3. 掌握含参变量反常积分的概念，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念及其

判别法；掌握含参变量反常积分的连续性、可微性和可积性。

4. 会利用含参变量反常积分的性质计算其值。

第七部分：曲线积分、重积分和曲面积分

考试内容：

1. 第一型曲线积分的概念和计算。

2. 第二型曲线积分的概念和计算。

3. 二重积分的概念和性质，直角坐标下二重积分的计算。

4. 格林公式，曲线积分与路径的无关性。

5. 二重积分的变量变换公式和计算，用极坐标计算二重积分。

6. 三重积分的概念，直角坐标下三重积分的计算，用柱面坐标和球坐标计算三重积分。

7. 第一型曲面积分的概念和计算。

8. 第二型曲面积分的概念和计算。

9. 高斯公式与斯托克斯公式。

考试要求：

1. 掌握第一型曲线积分的概念和性质，掌握第一型曲线积分的计算。

2. 掌握第二型曲线积分的概念和性质，掌握第二型曲线积分的计算。

3. 掌握二重积分的概念及其存在性，掌握二重积分的性质，会计算直角坐标下的二重积分。

4. 掌握格林公式，会利用格林公式计算第二型曲线积分；掌握曲线积分与路径的无关性，会利用其解决相关问题。

5. 掌握二重积分的变量变换公式，会利用此公式求一些二重积分；掌握极坐标计算二重积分的方法。

6. 掌握三重积分的概念，掌握直角坐标系下的三重积分的计算，掌握柱面坐标和球坐标下三重积分的计算。

7. 掌握第一型曲面积分的概念和性质，掌握第一型曲面积分的计算。

8. 掌握第二型曲面积分的概念和性质，掌握第二型曲面积分的计算。

9. 掌握高斯公式，会用高斯公式计算第二型曲面积分；掌握斯托克斯公式，会利用斯托克斯公式计算第二型曲线积分。

[参考教材]

1．数学分析，上册，华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2010.

2．数学分析，下册，华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2010.